Résumé:

Au cours de cet exposé, on va dégager quelques propriété géométriques et d'en mesurer l'impact sur la géométrie des espaces de Banach. Nos caractérisations et nos résultats portent sur les fonctions convexes. On va rappeler les notions d'extrémalité: points extrémaux, points exposés et fortement exposés et les points de dentabilité. Ensuite, on introduit les sections inférieures des épigraphes des fonctions convexes semi continue inférieurement et dont le domaine de définition est non vide. Aussi on introduit de nouvelles notions de rotondité, de rotonde faible et on examine les relations toujours sur les épigraphes de telles fonctions.

En premier lieu, on démontre que la stricte convexité de la fonction en un point est une condition nécessaire pour l'existence d'un point extrémal sur son épigraphe, ensuite on établit que la rotondité et l'existence d'un point fortement exposé se correspondent, et que la rotondité faible, l'existence d'un point de dentabilité se correspondent.

Et pour finir on va annoncer le résultat principal de notre thèse bien qu'il ne sera pas l'objet de l'exposé. Pour cela, on souhaite avoir la permission pour une autre prononciation afin de présenter en détail le théorème de la thèse qui est la caractérisation de la propriété de Radon Nikodym dans un espace de Banach.